Kiến Thức - Chia Sẻ

Công thức tính diện tích hình chóp và các bài tập ví dụ chi tiết

5/5 - (3 bình chọn)

Công thức tính diện tích hình chóp thường được được hiểu theo hai công thức là công thức tính diện tích xung quanh hình chóp được sử dụng công thức Sxq = ½ * p * d. Trong đó p là nửa chu vi đáy hình chóp và d là độ dài trung đoạn của hình chóp. Trong khi đó, diện tích toàn phần của hình chóp được tính theo công thức Stp = Sxq + Sđáy, trong đó Sxq là diện tích xung quanh, tính theo công thức trên. Sđáy là diện tích đáy hình chóp. Diện tích này phụ thuộc vào hình dạng cụ thể của đáy. Cùng mình tìm hiểu chi tiết hơn về các công thức tính diện tích hình chóp chi tiết qua bài viết dưới đây.

Hình chóp là gì?

Hình chóp là gì
Hình chóp là một khối đa diện

Trước khi đi vào tìm hiểu công thức tính diện tích hình chóp, ta cũng khám phá định nghĩa về hình chóp. Trong hình học không gian, hình chóp là khối đa diện độc đáo, với mặt đáy của nó là một đa giác lồi. Các mặt bên của hình chóp là các hình tam giác và tất cả các tam giác này có chung một đỉnh, đó chính là đỉnh của hình chóp.

Một số tính chất cơ bản của hình chóp:

  • Đường cao của hình chóp: Đây là đường thẳng nối từ đỉnh của hình chóp đến mặt phẳng đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
  • Tên gọi dựa vào đa giác mặt đáy: Hình chóp được đặt tên theo đa giác tạo nên mặt đáy của nó. Ví dụ, khi đáy của hình chóp là một hình tam giác, ta gọi đó là “hình chóp tam giác”, khi đáy là một hình tứ giác, ta gọi là “hình chóp tứ giác”.
  • Đường cao và tâm đường tròn ngoại tiếp: Nếu các cạnh bên của hình chóp hợp với mặt đáy tạo thành các góc bằng nhau hoặc các cạnh bên bằng nhau, thì đường cao của hình chóp chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy hình chóp.
  • Đường cao và tâm đường tròn nội tiếp: Nếu các mặt bên của hình chóp hợp với mặt đáy tạo thành các góc bằng nhau hoặc các đường cao từ các mặt bên xuất phát từ cùng một đỉnh bằng nhau, thì đường cao của hình chóp chính là bán kính của đường tròn nội tiếp mặt đáy hình chóp.
  • Mối quan hệ giữa đường cao và mặt bên, mặt chéo: Trong trường hợp hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với mặt phẳng đáy, đường cao của hình chóp sẽ trùng với đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.

Các loại hình chóp thường gặp

Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều là một loại hình chóp có đáy là tam giác đều, với tất cả các mặt bên đều là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh. Dưới đây là những tính chất cơ bản của hình chóp tam giác đều:

  • Hình chóp tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng.
  • Đáy của hình chóp là một tam giác đều.
  • Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau.
  • Tất cả các mặt bên của hình chóp là các tam giác cân bằng nhau.
  • Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của mặt đáy, với tâm đáy là trọng tâm của tam giác đều.
  • Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đều bằng nhau.
  • Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp đều bằng nhau.
Xem thêm:  Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật và các bài tập ví dụ chi tiết

Lưu ý: Tâm của tam giác đều là giao điểm của 3 đường trung tuyến, đồng thời cũng là giao điểm của ba đường cao, đường trung trực và đường phân giác trong tam giác đều

Hình chóp tứ giác đều 

Hình chóp tứ giác đều là một dạng đặc biệt của hình chóp, có đáy là một hình vuông. Dưới đây là những tính chất cơ bản của hình chóp tứ giác đều:

  • Hình chóp có đáy là một hình vuông.
  • Các cạnh bên của hình chóp tứ giác đều bằng nhau.
  • Tất cả các mặt bên của hình chóp là các tam giác cân bằng nhau.
  • Chân đường cao của hình chóp tứ giác đều trùng với tâm của mặt đáy, với tâm đáy là giao điểm hai đường chéo của hình vuông.
  • Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều bằng nhau.
  • Hình chóp tứ giác đều có tổng cộng 8 cạnh.

Công thức tính diện tích hình chóp

Diện tích hình chóp được chia thành diện tích xung quanh hình chóp và diện tích toàn phần của hình chóp.

Diện tích xung quanh hình chóp

Diện tích xung quanh
Cách tính diện tích của hình chóp

Diện tích xung quanh hình chóp là tổng diện tích của tất cả các mặt bên của hình chóp. Các mặt bên này bao gồm các tam giác hoặc tứ giác (tùy thuộc vào hình dạng đáy) được tạo thành bởi các cạnh bên của hình chóp và các cạnh đáy.

Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp là:

Sxq = (1/2) * p * d

Trong đó:

  • Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp.
  • p: Nửa chu vi đáy của hình chóp.
  • d: Độ dài trung đoạn của hình chóp.

Ví dụ áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình chóp:  Hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy a = 5 cm và chiều cao h = 6 cm:

  • Nửa chu vi đáy: p = 2a = 2 * 5 cm = 10 cm
  • Độ dài trung đoạn (đường cao): d = h = 6 cm
  • Diện tích xung quanh:

<=> Sxq = (1/2) * p * d

<=> Sxq = (1/2) * 10 cm * 6 cm

<=> Sxq = 30 cm²

=> Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là 30 cm².

Diện tích đáy hình chóp

Diện tích đáy của hình chóp là diện tích của phần mặt phẳng đóng vai trò là “cơ sở” cho hình chóp. Nó tương tự như diện tích đáy của các hình đa diện khác như hình hộp, hình lăng trụ,… Công thức tính diện tích đáy hình chóp được tính theo công thức sau:

Sđ = Stp – Sxq

Trong đó:

  • Sđ: Diện tích đáy của khối chóp.
  • Stp: Diện tích toàn phần của khối chóp.
  • Sxq: Diện tích xung quanh của khối chóp.
Xem thêm:  Định lý cosin: công thức vàng trong cách tính diện tích tam giác

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính diện tích đáy của hình chóp.

  • Diện tích toàn phần (Stp) của hình chóp:
    • Diện tích đáy: Sđ1 = a^2
    • Diện tích 3 mặt bên: Sxq1 = 3 * (1/2 * a * h) = 3ah/2
    • Stp = Sđ1 + Sxq1 = a^2 + 3ah/2
  • Diện tích xung quanh (Sxq) của hình chóp:
    • Sxq = 3ah/2
  • Diện tích đáy (Sđ) của hình chóp:
    • Sđ = Stp – Sxq = (a^2 + 3ah/2) – 3ah/2 = a^2

=>> Vậy diện tích đáy của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h là a^2.

Diện tích toàn phần hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình chóp. Công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp là:

Stp = Sxq + Sđ

Trong đó:

  • Stp: Diện tích toàn phần của khối chóp.
  • Sxq: Diện tích xung quanh của khối chóp.
  • Sđ: Diện tích đáy của khối chóp.

Công thức tính thể tích hình chóp

Thể tích hình chóp
Công thức tính thể tích hình chóp

Để tính thể tích hình chóp, ta lấy diện tích đáy nhân với chiều cao hình chóp (là đường cao kẻ từ đỉnh xuống đáy) sau đó nhân với 1/3. Công thức tính thể tích khối chóp như sau:

V=1/3.Sđ.h

Trong đó:

  • V: thể tích của hình chóp.
  • Sđ: diện tích đáy của hình chóp.
  • h: chiều cao của hình chóp

Ví dụ minh họa cụ thể

Ví dụ: Hãy tính thể tích và diện tích hình chóp (cụ thể là diện tích xung quanh của một hình chóp tam giác) có đỉnh S và mặt đáy là tam giác ABC. Tam giác ABC là một tam giác vuông tại đỉnh B, với đoạn AH nằm trong mặt phẳng của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng của tam giác ABC. Biết rằng độ dài AB = 8m, BC = 6m, AC = 10m và độ dài SH = 12m.

Lời giải tham khảo:

Để tính thể tích của hình chóp, ta áp dụng công thức: V = (1/3) * Sđ * h

Trong đó:

  • Sđ là diện tích đáy hình chóp.
  • h là chiều cao của hình chóp.

Với các giá trị đã cho, ta có: Sđ = (1/2) * p * SH = (1/2) * 12 * 12 = 72 (m²)

=> h = SH = 12 (m)

Tính thể tích V: V = (1/3) * 72 * 12 = 288 (m³)

Nửa chu vi đáy khối chóp S.ABC: p = (AB + BC + AC) / 2 = (8 + 6 + 10) / 2 = 12 (m).

Để tính diện tích xung quanh của khối chóp, ta sử dụng công thức:Sxq = p * d

Trong đó:

  • d là độ dài trung đoạn của khối chóp.

Với giá trị d = 12m, ta tính diện tích hình chóp xung quanh: Sxq = 12 * 12 = 144 (m²)

=>> Có thể bạn cũng quan tâm về Diện tích xung quanh hình nón

Kết luận

Hy vọng thông qua nội dung mà chúng tôi chia sẻ trên đây, bạn đã hiểu và nắm được công thức tính diện tích hình chóp. Theo dõi trang web để cập nhật thêm nhiều thông tin bổ ích hơn nữa nhé!